¿Qué es contar?

Mi hijo me pidió un acertijo esta tarde: «¿Qué sube pero nunca baja?»

Dije «¡Un ascensor!»

Pareció sorprendido por mi respuesta, así que dije «¡Voyager I!»

Luego se quejó de que el enigma era tan genérico que había millones de respuestas posibles. Le pregunté si había alguna respuesta tradicional que se suponía que debía dar, y él dijo que no sabía una.

¿Vos si?

Los matemáticos intentan ser muy precisos sobre lo que quieren decir con cosas. Bueno, cosas matemáticas, de todos modos. Puede que no te sorprenda que los matemáticos tengan definiciones muy detalladas y complejas de cosas que generalmente damos por sentado. Por ejemplo, el número 4 se define (a veces) como «el número después del número después del número después del número después de cero». No me preguntes qué es 1729.

En otras ocasiones, el número 4 se define como un conjunto específico de cosas, o más bien, como la colección de todos los conjuntos de exactamente cuatro cosas. Bueno, en realidad no, esa sería una definición circular: cuando trato de decir qué es «cuatro», no puedo asumir que ya lo sabes. ¿Qué pasa si pensabas que cuatro eran 5? Ambos nos íbamos pensando que nos entendíamos, pero aún habría confusión. En cambio, podríamos definir 4 como una colección específica de conjuntos que se puede mostrar a todos con el mismo tamaño.

¿Te parece confuso? Bueno, déjame preguntarte esto: ¿cómo me probarías que la palabra «CUATRO» tiene 4 letras?

Supongo que señalarías las letras una por una y las contarías. Señalarías la F y dirías «Uno». Luego en la O y diga «Dos». La U se llamaría «Tres» y la R se llamaría «Cuatro». Entonces dirías «Ahí, los contamos. Hay cuatro letras.

Sin embargo, si fuera particularmente obtuso, podría decir «Todo lo que hiciste fue probar que el número de letras en la palabra» CUATRO «es el mismo que el número de palabras en la lista‘ Uno, Dos, Tres, Cuatro. ¿Cómo sabes que «Uno, Dos, Tres, Cuatro» tiene cuatro palabras? «

Si soy escéptico incluso de eso, no puedes contarlos de nuevo. Esa sería otra definición circular. Entonces, los matemáticos terminan diciendo algo como esto: «Definimos el número 4 como el número de elementos en la lista‘ Uno, Dos, Tres, Cuatro «.

Entonces, contar funciona. «‘ F, O, U, R «se puede asignar a» Uno, Dos, Tres, Cuatro «. Acabamos de hacer eso cuando los contamos. Así que estas dos listas tienen el mismo número de elementos, y ese número se define como 4 «.

Puede parecer extraño ser tan exigente con algo que parece tan obviamente intuitivo, pero si el conteo funciona, alguien debería averiguar por qué.
Además, al precisar exactamente por qué, obtenemos una tecnología lógica que puede extender el concepto de contar a otras áreas donde la intuición falla.

Por ejemplo, podemos definir números infinitos como tamaños de conjuntos infinitos particulares. Luego podemos intentar contar otros conjuntos infinitos encontrando una manera de asignar un conjunto a otro, tal como mapeó las palabras «uno, dos, tres, cuatro» a las letras «F, O, U, R» anteriormente para demostrar ese «CUATRO» tiene 4 letras.

Hay una manera simple de asignar solo los números enteros pares a los números enteros (y viceversa), por lo que estos dos conjuntos tienen el mismo tamaño, aunque eliminar los números pares de los números enteros deja algo sobrante. Por otro lado, no es posible encontrar un mapeo del conjunto que cubra los números reales por completo; no importa cómo lo intentes, siempre te perderás alguno. Entonces, el número infinito de números reales es un número infinito estrictamente más grande que el número infinito de números enteros. ¡Hay diferentes tamaños de infinito! Los números infinitos son cosas extrañas que siguen muchas reglas contraintuitivas. ¡Te contaré más sobre ellos la próxima semana!