La guía de autoestopistas matemáticos

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Parafraseando a Douglas Adams, “hay una teoría que establece que si alguien descubre que los fundamentos de las matemáticas son contradictorios, desaparecerán instantáneamente y serán reemplazados por algo aún más extraño e inexplicable. Hay otra teoría que afirma que esto ya ha sucedido ”

Imagina que has descubierto algo que te hará famoso. Tu nombre hará eco en la historia durante décadas, tal vez siglos. Has estado trabajando en los detalles durante meses. Estás preparando un libro sobre el tema. Luego, alguien lee un borrador de su libro y señala “Ha cometido un error. Aquí mismo.” Miras con cuidado y tienen razón.

¿Qué haces?

Si usted es Ed Nelson, dice “Tiene razón, retiro mi reclamo”

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No sé qué siente Ed Nelson en este momento, pero si yo fuera él, me sentiría bastante decepcionado. Sin mencionar algo avergonzado. Sin embargo, el hecho de que él tan voluntariamente, casi sin darse cuenta, retiró una afirmación tan devastadora dice mucho, tal vez – volúmenes positivos – para el tipo de persona que es.

Lo que sucedió fue esto. Los matemáticos tienen un conjunto de axiomas, llamados los axiomas de Peano, que describen cómo funcionan los números naturales. En inglés simple, dicen

  • 0 es un número
  • Si x es un número, x = x.
  • Si x e y son números, y si x = y, entonces y = x.
  • Si x, y y z son números, y si x = y e y = z, entonces x = z.
  • si x es un número yx = y, entonces y es un número.
  • Podemos contar por unos de cualquier número natural.
  • No puede comenzar a contar por unos y luego llegar a 0. Recuerde que aquí estamos hablando de los números naturales, por lo que no hay números negativos, ni fracciones ni decimales.
  • Si el siguiente número después de x es igual al siguiente número después de y, entonces x = y también.
  • Si comienzas con 0 y sigues contando para siempre, eventualmente obtienes cada número (natural).
  • Supongamos que algo es cierto para el número 0. Supongamos también que si es cierto para x, también es cierto para el siguiente número. Entonces es cierto para todos los números naturales. O, en lenguaje simple, si algo funciona la primera vez, y cada vez que funciona, funciona la próxima vez, entonces siempre funciona.
  • x + 0 = 0
  • x + (y + 1) = (x + y) +1.
  • x veces 0 es 0
  • x veces (y + 1) es x más x veces y, es decir, x * (y + 1) = x + x * y.

Si comprende cada uno de estos, obviamente son ciertos de los números naturales. Tenga en cuenta que faltan otras declaraciones verdaderas de la lista: por ejemplo, x + y = y + x. Sorprendentemente, esto puede probarse de la lista de axiomas anterior. Entonces, ¿pueden muchas otras cosas, como “32+42= 52“, O” hay infinitos conjuntos de números a, b, c con un2+ b2= c2“. Podemos definir el concepto de un número primo y demostrar que cada número tiene una factorización única en primos.

La pregunta que sigue siendo desconocida es: supongamos que probamos algo lógicamente a partir de estos axiomas. ¿Podríamos quizás probar también lo contrario? Por ejemplo, si probáramos que había infinitos números primos, ¿podríamos también probar que no los había? En otras palabras, ¿contienen los axiomas de Peano contradicciones??

Parece tonto pensar que sí, pero es fácil escribir un conjunto de axiomas (o reglas) en los que se pueden obtener contradicciones. Por ejemplo, podría escribir

  • si x + 1 = y + 1, entonces x es igual a y
  • a no es igual a b
  • a + 1 = b + 1

Ed Nelson dijo que había encontrado una contradicción en los axiomas de Peano. Había estado escribiendo un libro al respecto. Habría sido el pináculo de su carrera. Puso una vista previa del libro en línea. Otro matemático (muy famoso) lo leyó y señaló algunos problemas de lógica en público en Internet. Ed lo comprobó, vio que los problemas eran reales y se retractó de su reclamo.

Pero imagínense si hubiera tenido razón. Si una contradicción fueron encontrado, uno de los axiomas de Peano arriba tendría que ser desechado o reemplazado, lo cual sería difícil, porque todos son tan evidentemente ciertos.

¿Qué significaría esto para las matemáticas tal como se practican? Probablemente no mucho. De hecho, algo similar ha sucedido antes. Un brillante matemático llamado Cantor escribió un conjunto de reglas para pensar lógicamente sobre los conjuntos. Mucho más tarde, Bertrand Russell encontró una contradicción, ahora llamada la paradoja de Russell. Se imaginó un conjunto X, definido por esta regla:

Si S, un conjunto, no contiene S, entonces X contiene S. Por otro lado, si S contiene S, X no contiene S.

Entonces, la pregunta candente es, ¿se contiene X? Para averiguarlo, pongamos X en lugar de S en la regla.

Si X, un conjunto, no contiene X, entonces X contiene X. Por otro lado, si X contiene X, X no contiene X.

Hay un problema claro aquí. X solo puede contener X si no lo tiene. La respuesta del mundo matemático a la paradoja de Russell fue inventar un nuevo conjunto de axiomas para la teoría de conjuntos. Un conjunto de axiomas más complicado que el original, pero inmune a la paradoja de Russell.

Si el axioma de Peano llegara a tener contradicciones, los matemáticos encontrarían algún reemplazo con bastante rapidez. De hecho, ya hay algunos reemplazos en las alas: a algunos matemáticos no les gusta, por ejemplo, llegar a la conclusión de que solo porque algo funciona la primera vez, y cada vez que funciona, funciona la próxima vez, que siempre funcionará “Siempre” es mucho tiempo, después de todo. Han elaborado sistemas de aritmética que no necesitan o usan esa suposición.

Mientras los matemáticos estaban resolviendo todo esto, el resto del mundo (por supuesto) seguiría felizmente usando las mismas viejas reglas de aritmética que antes, apenas notando que los cimientos estaban temblando.

Cuando Douglas Adams hizo su famosa cita sobre la última respuesta (y pregunta) a la vida, el universo y todo, realmente estaba hablando de las matemáticas.

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