Un rompecabezas de probabilidad del autor de Dilbert

He estado leyendo este libro, de Scott Adams, el autor de Dilbert. ¡Dentro, encontré un rompecabezas de probabilidad!

Scott Adams habla sobre los juegos de voleibol y cómo se dio cuenta de que el equipo que alcanza los 17 primeros generalmente gana. (Una victoria en voleibol es de 25 puntos).

 

El rompecabezas de la probabilidad es: ¿cuál es exactamente la posibilidad de que esto suceda? Scott Adams probablemente no se da cuenta de que ha planteado un rompecabezas de probabilidad, ¡pero lo ha hecho!

Así es como lo resolví. Si quieres tener una oportunidad, deja de leer ahora y vuelve más tarde.

Imaginé que el resultado de un rally se decide, efectivamente, por casualidad: el equipo A gana p el tiempo, y el equipo B gana 1 p del tiempo. Para simplificar, escribiré 1-p como q a veces.

Primero trabajé P_{n, k}, la posibilidad de que el equipo B tenga k puntos cuando el equipo A obtenga su enésimo punto.

Esto es realmente fácil de resolver: el método más simple es visitar Wikipedia y leer acerca de la distribución binomial negativa. Allí encontrarás una fórmula simple para P_{n, k}a saber

PAG_{n, k} = ^{n + k-1}C_k pag^norteq^k

A continuación, dije Q_{n, k} es la posibilidad de que el equipo A obtenga n puntos antes de que el equipo B obtenga k. Por ejemplo, Q_25,25 sería la posibilidad de que el equipo A gane el partido de voleibol.

Q_{n, k} es la suma de P_{n, i} como i varía de 0 a k-1. Puede haber una manera de convertir esta suma en una fórmula simple, pero de todos modos iba a pedirle a una computadora que hiciera el trabajo pesado, así que no me molesté.

A continuación, dije R_{Nuevo Méjico} es la posibilidad de que el equipo A obtenga m puntos primero, y luego llegue a n puntos primero.

Cuando el equipo A llega a m puntos primero, el equipo B podría tener cualquier número de puntos de 0 a m-1. La posibilidad de cada uno de estos está dada por la P_{n, k}. Luego, para que A llegue a n puntos antes de B, necesitan otros puntos n-m antes de que B pueda asegurar otro n-k. Como m es más grande que k, pensarías que esto sería fácil. Sea lo que sea, lo da Q_{n-m, n-k}

Encontrar R_{Nuevo Méjico} podemos agregar los productos P_{m, k} × Q_{n-m, n-k} como k varía de 0 a m-1.

R_17,25 no es exactamente la respuesta al enigma de Scott Adams, porque realmente no nos importa qué equipo gane.

R_{Nuevo Méjico} depende de la posibilidad de que A gane, que es p. Podemos decir R_{Nuevo Méjico} = R_{Nuevo Méjico}(pag). La respuesta al rompecabezas es S_{Nuevo Méjico} = R_{Nuevo Méjico}(p) + R_{Nuevo Méjico}(1-p).

Cada fórmula dada anteriormente es una suma relativamente simple, aunque separar las sumas en una sola fórmula que involucra p podría ser bastante difícil.

Resulta que S_17,25 En realidad es muy alto. Lo más bajo posible es 80.9%, cuando los equipos están perfectamente combinados.

Aquí hay un gráfico de S_17,25 o diferentes valores de p:

Como puede ver, incluso si los equipos no coinciden, la probabilidad de confirmar la observación del autor Dilbert se dispara dramáticamente. No es de extrañar entonces.

De hecho, a menudo puedes elegir al ganador tan pronto como uno de los equipos llegue a 13 puntos. Aquí está la gráfica de S_13,25