¿Son reales los números complejos?

Vi una publicación en reddit preguntando si los números imaginarios eran realmente útiles.

Mi respuesta fue tan larga que decidí publicarlo aquí:

Imagina a Ug, el primer matemático de la historia. Está en su cueva, meciendo a su bebé (en una roca, por supuesto) y pensando en números. “Ug sabe los números. Hay 1, 2 y 3 “. Simple y agradable.

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Sin embargo, un pensamiento preocupante se le ocurre a Ug. Si bien puede contar a los tres miembros actuales de su familia, se da cuenta, palmeando su gran barriga redondeada, que su sistema numérico tiene limitaciones fundamentales en su poder y expresividad.

Sus matemáticas se pueden usar para contar a su familia ahora, pero se encuentra con problemas si trata de agregar uno más. La ecuación simple x = 3 + 1 no tiene solución. Hace un año, x = 2 + 1 no presentaba ninguna dificultad.

Ella decide inventar un nuevo número y llamarlo “cuatro”. Sus compañeros de la tribu se ven perplejos mientras ella explica. “Es solo un concepto”, dicen. “¿De qué sirve?” Tienen problemas para aceptar que cuatro podría ser un número “real”. Ella señala que incluso si no es real, el concepto de “cuatro” ayuda a resolver algunos problemas avanzados en la demografía y la agricultura. “Bien”, se encogen de hombros.

En su diario, escribe la idea de “cuatro” en detalle, y también analiza la posibilidad de números como cinco o seis.

Podemos ver que la debilidad de su sistema, su incapacidad para resolver ecuaciones como x = 3 + 1, es evidencia de que faltan números en su sistema. El número cuatro, de hecho cinco y seis también, debería ser incluido, no solo porque son útiles, sino porque hacen que el sistema sea más completo, más expresivo … y más simple (despierta con más números), porque ahora podemos decir “podemos sumar 1 a ninguna número, no tenemos que tener reglas complicadas para describir cuales los números pueden tener 1 añadido a ellos “

Visto de esta manera, si un sistema de números puede resolver algunas ecuaciones, pero no resuelve otras ecuaciones aparentemente similares, entonces el sistema de números no solo es menos que útil, en realidad no es la historia completa. Es solo un capítulo de un libro, y necesitamos agregar las páginas que faltan.

Avance rápido hasta los albores de la civilización. Los matemáticos pueden resolver ecuaciones como 2x = 18 y 2x = 16, pero no 2x = 17. Entonces, inventan fracciones. Hay objeciones: números como “17/2 de un caballo” no tienen ningún sentido útil. No obstante, la idea de fracciones se da cuenta, y ahora todos los aceptamos como números verdaderamente reales.

Del mismo modo, se descubrieron números irracionales en la antigüedad griega. El sistema de números anterior podría usarse para resolver, digamos x ^ 2 = 9, pero no x ^ 2 = 10, por lo que se agregaron nuevos números al sistema de números previamente incompleto. Sin embargo, tenga en cuenta que a estos “nuevos” números se les ha dado un nombre bastante grosero, un patrón que continúa.

Ahora estamos en la edad media. Podemos resolver x + 4 = 8 pero no x + 8 = 4. Vamos a inventar algunos números nuevos y llamarlos negativo para indicar cuánto nos disgustan. Somos parciales. Los odiamos, estos negativos y números irracionales, ¿no, preciousss? Avancemos rápido de nuevo.

Podemos resolver x ^ 2 – 1 = 0 pero no x ^ 2 + 1 = 0? Vamos a inventar aún más números nuevos. Esta vez, no les daremos uno, sino dos nombres sucios Imaginario. Complejo.

Parece que esto podría continuar para siempre, encontrar ecuaciones irresolubles y agregar nuevos números, pero no es así. Con la introducción de números complejos, sucede algo mágico: el álgebra se vuelve simple. Un cuadrático siempre se factoriza en dos factores. Un polinomio cúbico siempre factoriza en 3 factores, y así sucesivamente. Buscamos y buscamos ecuaciones que parecen ser capaces de resolverlas pero no podemos, y no encontramos ninguna. Es como si los números complejos fueran todos los números que hay, sin que queden números nuevos por agregar.

Volvemos a algunos problemas de cálculo que antes eran terriblemente difíciles y descubrimos que los números complejos los hacen ridículamente fáciles. Descubrimos que las funciones trigonométricas y las funciones exponenciales son casi lo mismo. Descubrimos que las funciones diferenciables son infinitamente diferenciables, por lo que podemos prescindir de conceptos como “dos veces diferenciables”, etc. Los radios de convergencia de series de repente tienen sentido. Cuando pasamos a la física, encontramos que los números complejos son fenomenalmente útiles para describir ciertos fenómenos: corrientes alternas, átomos de hidrógeno, ondas de sonido y mucho, mucho más.

Luego, armados con estos nuevos números asombrosos, hacemos algo totalmente estúpido. Recibimos racimos y racimos de estudiantes de cálculo estresados, que ya luchan con límites, antiderivados y vectores, y decimos “¡Hola chicos! ¿Cómo te gustaría aprender sobre algo complejo e imaginario? “

Se quejan, sin darse cuenta de que las palabras “imaginario” y “complejo” son solo etiquetas para los números que faltaban anteriormente, que se les ha ocultado durante demasiado tiempo. Etiquetas desafortunadas para ideas que brindan atajos radicales para algunos problemas y hacen que algunas partes de las matemáticas sean mucho más simples de lo que parecían antes.

Tal vez los profesores de cálculo deberían decir, en cambio, ‘¡Hola chicos! ¿Cómo le gustaría conocer algunos números útiles y hermosos? “(Muestra una diapositiva de Seahorse Valley)” en una semana o dos, ¡podrá hacer fotos como esta! ¡Unas semanas más, y Q3b en el cuestionario de ayer será una caminata de cinco minutos en el parque! “

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