Rompecabezas de Pitágoras

«Todos» saben que 3 × 3 + 4 × 4 = 5 × 5. Este pequeño factoide, y otros trillizos pitagóricos, pueden ser la base de un buen conjunto de acertijos. Aquí está el primero. Si dibuja un cuadrado de 5 × 5 en papel cuadriculado, ¿cómo puede cortarlo (siguiendo las líneas en el papel cuadriculado) para que las piezas se puedan reorganizar para formar un cuadrado de 3 × 3 y un cuadrado de 4 × 4?

Esto no es tan difícil de hacer. Aquí hay una posible solución:

Bueno, ahí está el cuadrado 5 × 5. Estas cuatro piezas se pueden reorganizar así:

Como resultado, no puedes hacerlo con menos piezas que esta: cada esquina del cuadrado 5 × 5 debe estar en una pieza diferente.

Pero hay otros pares de números cuadrados que se suman a un número cuadrado. Por ejemplo, 5 × 5 + 12 × 12 = 13 × 13. Logré encontrar una manera de cortar un cuadrado de 13 × 13 en cinco piezas que podrían formar un cuadrado de 5 × 5 y un cuadrado de 12 × 12. ¿Se puede hacer con solo cuatro? No lo sé.

¿Y qué hay de 7 × 7 + 24 × 24 = 25 × 25? ¿En cuántas piezas puede cortar un cuadrado de 25 × 25, para que las piezas se puedan reorganizar en un cuadrado de 7 × 7 y un cuadrado de 24 × 24?

Esto ya es suficiente, a modo de rompecabezas, para mantener ocupados a algunos alumnos durante muuuucho tiempo, pero hay un número infinito de trillizos pitagóricos, por lo que hay un número infinito de rompecabezas de este tipo. Para encontrar más trillizos pitagóricos, siga estos pasos:

• elige dos números, llámalos M y N. Asegúrate de que M sea más grande que N.
• trabajar 2xMxN, y llamar a esto P
• calcule MxM – NxN, y llame a esto Q
• resolver MxM + NxN, y llamar a esto R.
• Notarás que PxP + QxQ = RxR.

Entonces el rompecabezas es el siguiente: ¿cómo puedes cortar un cuadrado RxR, respetando las líneas en el papel cuadriculado, para que las piezas se puedan reorganizar en un cuadrado PxP y un cuadrado QxQ, usando la menor cantidad de piezas posible?

Tenga en cuenta que si permite que los cuadrados se corten en piezas de cualquier forma, o con cortes rectos en cualquier dirección (no solo paralelos a los lados de los cuadrados), entonces como máximo 7 piezas son suficientes para resolver este rompecabezas. Esta imagen (dominio público, de wikipedia) muestra cómo:

Algunas otras fórmulas que dan rompecabezas interesantes:

• 1 × 1 + 7 × 7 = 5 × 5 + 5 × 5: ¿cómo puedes cortar dos cuadrados de 5 × 5, para que las piezas formen un cuadrado de 7 × 7 y un cuadrado de 1 × 1?
• 3x3x3 + 4x4x4 + 5x5x5 = 6x6x6: ¿cómo se puede cortar un cubo de 6x6x6, para que las piezas se puedan reorganizar para hacer los tres cubos más pequeños?
• 1x1x1 + 12x12x12 = 9x9x9 + 10x10x10: ¿cómo puedes cortar dos cubos, 9 y 10 unidades en sus lados, y formar dos cubos, 1 y 12 unidades en sus lados?

Los números como el último (que puede escribirse como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes) se denominan números de «taxi» (debido a un incidente interesante que involucró a dos matemáticos, un hospital y el número de taxi 1729). Hay infinitos números de taxis, pero no tengo a mano una fórmula ordenada para ellos. Si tienes estudiantes que han agotado los rompecabezas de esta página, ¡pídeles que encuentren uno para ti!