Rectángulos y Triángulos Rectos

¿Puedes encontrar un rectángulo cuyo perímetro sea igual a su área?

Explicaré una forma de resolver este rompecabezas a continuación.

Advertencia de alergia: este producto contiene álgebra. Puede contener trazas de teoría de números.

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Vamos a empezar. Si los lados del rectángulo son A y B, llamemos al área y al perímetro S. Esto da dos ecuaciones:

  • El área es igual a S. Eso significa AB = S.
  • El perímetro también es S. Eso significa que 2A + 2B = S.

Ahora, voy a cambiar este par de ecuaciones en una sola ecuación, sustituyendo B de distancia.

  • La ecuación para el perímetro se puede reorganizar para dar B = S / 2 – A
  • Si sustituyo esto en la ecuación para el área, obtengo A (S / 2-A) = S.
  • Esta ecuación se puede reorganizar en una ecuación cuadrática para A, es decir, 2A2 – SA + 2S = 0.

No hay una manera obvia de factorizar esto, así que recurriré a la fórmula cuadrática. Habrá dos soluciones para A. Cualquiera que elija, la otra será B. Esta es la parte en la que desearía poder escribir matemáticas fácilmente en las publicaciones de mi blog.

  • Entonces, A = (S + sqrt (S2 -16S)) / 4
  • En otras palabras, A = S / 4 + sqrt (S2 -16S) / 4

Sería bueno si A fuera un número entero, o al menos una fracción. Desafortunadamente, solo elegir valores aleatorios para S rara vez hace que esto suceda. Entonces, nuestro rompecabezas rectangular se ha convertido en un rompecabezas de números cuadrados: ¿cómo podemos encontrar valores de S que hagan S2 -16S un número cuadrado?

Entonces, vamos a S2 -16S sea N2. Agregue 64 a ambos lados de esto, y el lado izquierdo factoriza:

  • Si S2 -16S = N2, luego
  • S2 -16S + 64 = N2+82, entonces
  • norte2+82 = (S -8)2.

Hmm Dos números cuadrados, sumando para dar un tercer número cuadrado. ¿Dónde he visto eso antes? ¡Hola, ese es el teorema de Pitágoras sobre triángulos en ángulo recto! Supongamos que tengo un triángulo rectángulo, con los lados P, Q y R. Luego,

  • PAG2+ Q2 = R2. Si divido todo esto por Q2, Lo tendré
  • (P / Q)2+12 = (R / Q)2. Ahora, multiplicaré esto por 82., Llegar
  • (8P / Q)2+82 = (8R / Q)2. Ahora, renombraré 8P / Q y 8R / Q. Dejaré que 8P / Q sea N, y 8R / Q será S-8. Luego,
  • norte2+82 = (S -8)2, que es solo la ecuación que necesito para resolver mi rompecabezas rectangular.

Entonces, cualquier triplete pitagórico, cualquiera, me da una solución a mi rompecabezas rectangular.

  • El triplete pitagórico P, Q, R da N = 8P / Q y S-8 = 8R / Q.
  • Entonces, A = (S + N) / 4 y B = (S – N) / 4.
  • En resumen, A = (8R / Q + 8 + 8P / Q) / 4 y B = (8R / Q + 8 – 8P / Q) / 4.
  • Estos se pueden simplificar: A = 2 (R + Q – P) / Q y B = 2 (R + Q – R) / Q

¡Intentemos esto! Si P = 3, Q = 4 y R = 5, obtengo A = 2 (5 + 4 + 3) / 4 y B = 2 (5 + 4 – 3) / 4, es decir A = 6, B = 3 . Si un rectángulo tiene los lados 6 y 3, efectivamente, el área y el perímetro son ambos 18.

Lo intentaré nuevamente, con P = 12, Q = 5 y R = 13 esta vez. Entonces, obtengo A = 2 (13 + 5 + 12) / 5 y B = 2 (13 + 5-12) / 5, entonces A = 12 y B = 2.4. Entonces, el área y el perímetro son ambos 28.8.

Intente ahora, nuevamente con el triángulo rectángulo 3-4-5, pero esta vez use P = 4, Q = 3 y R = 5. Deberías obtener un rectángulo con área (y perímetro) igual a 64/3. Luego pruébalo con algunos otros triángulos pitagóricos.

Este poco de álgebra nos ha dado una fábrica de soluciones de rompecabezas: dado un triángulo pitagórico, puedo encontrar un rectángulo cuya área y perímetro sean iguales.

En mi opinión, eso ya es un poco de magia matemática. Sin embargo, se vuelve aún más agradable, pero esa es una historia para la próxima vez.

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