Pratas y Sesame Street

 

Cuando era niño, veía Sesame Street. Un segmento estaba en compartir. Bert tiene una galleta, y Ernie viene y le pregunta “¿compartirás tu galleta conmigo, Bert?”

Bert dice “¿qué está compartiendo?”, Y Ernie explica. Mientras explica, toma la mitad de la galleta de Bert y se la come. Sin embargo, Bert parece poco convencido. Al final del segmento, Bert tiene la mitad de una galleta, y Ernie le pregunta “¿compartirás tu mitad de galleta conmigo, Bert?”

Se quedó en mi aspecto infantil como un final muy divertido para el segmento: claramente, Bert terminaría sin ninguna galleta, ya que Ernie comió primero 1/2, luego 1/4, luego 1/8, luego 1/16, y pronto.

Si alguna vez estudias “series geométricas”, una cosa que aprenderás es que 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … es igual a 1.

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Hay otras series que suman 1, y podemos descubrir algunas de la misma manera. Si Ernie solo hubiera tomado 1/3 del fragmento de galleta de Bert cada vez, eventualmente se habría comido toda la galleta, pero como 1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 + 16/243 +…., Entonces esta suma infinita también debe ser igual a 1.

El otro día, mi esposa y yo fuimos a un restaurante indio que ambos amamos. Al final, había comido mi prata (un pan plano), pero mi esposa no había empezado la suya. Entonces ella se arrancó la mitad y me lo dio. No quería ser codicioso, así que le arranqué la mitad de su mitad y se lo devolví. Finalmente, ella todavía no lo estaba comiendo, así que tomé el cuarto de prata que le había devuelto, lo partí por la mitad y tomé la mitad del cuarto. ¿Y si esto hubiera continuado para siempre?

Confundido todavía? Imagine entonces que Ernie toma la mitad de la galleta de Bert. Entonces Bert toma la mitad de la mitad galleta de Ernie. Entonces Ernie recupera la mitad de la pieza que Bert acaba de recuperar. Entonces Bert recupera la mitad de eso, y así para siempre. Puedes escribir esto así:

  • Bert comienza con una galleta entera.
  • Ernie toma la mitad (yo tomo la mitad). Bert ahora tiene 1 – 1/2.
  • Luego Bert recupera un cuarto, entonces Bert ahora tiene 1 – 1/2 + 1/4.
  • Entonces Ernie recupera la mitad de eso, entonces Bert ahora tiene 1 – 1/2 + 1/4 – 1/8
  • Y así sucesivamente, hasta el infinito.

En el “final”, Bert tiene 1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + 1/16 – 1/32 + … de una galleta. Mi esposa tiene 1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + 1/16 – 1/32 + … de un prata. Pero, ¿cuánto es esto como una fracción simple?

Si conoce las series geométricas, este es un problema simple (y no muy interesante). Sin embargo, estoy casi seguro de que se puede resolver sin utilizar ninguna teoría de series geométricas. Así que les presento este rompecabezas a todos los que no conocen las series geométricas: ¿Qué suma 1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + 1/16 – 1/32 + …? Y si sabes sobre series geométricas: ¿puedes encontrar una manera de obtener la respuesta que un niño de primaria podría entender?

¡Que te diviertas!

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