Números perfectos

Todas las noches le cepillo los dientes a mi hijo. El dentista dijo que debemos seguir haciendo esto hasta que tenga al menos 8 o 9 años.

Utilizamos un elegante cepillo de dientes eléctrico con un pequeño reloj digital. El reloj cuenta dos minutos, treinta segundos por cada cuarto de boca. Este año, he contado junto con mi hijo el tiempo total que he pasado cepillándome los dientes durante todo el año.

Esto le enseñará sobre el tiempo. O algo. Ojalá. Hasta ahora tenemos 102 minutos. Se nota que nos hemos perdido uno o dos días.

A medida que avanzamos, comencé a señalar características interesantes de algunos de los números. “¡Guau, 97 minutos! Eso es especial! ¡La única forma de escribir 97 como algo multiplicado por algo es como 1 x 97! «

Para entretenerme mientras el cepillo de dientes zumba, juego un juego con los números. Sume todos los factores del número, excepto el número mismo. Entonces haz esto de nuevo. Y otra vez.

Entonces, 100, que tiene los factores 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25 y 50, da 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50, que es 117.

117 tiene los factores 1, 3, 9, 13 y 39, que suman 65.

65 da 1 + 5 + 13, que es 19, y ahí termina el juego, porque 19 es primo. Su único factor propio es 1.

La suma que está calculando en cada paso se denomina «suma alícuota» del número.

En raras ocasiones, el juego termina en un número «perfecto», como 6, que equivale a 1 + 2 + 3, o 28, que equivale a 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Los únicos números perfectos conocidos son pares, e incluso son tan raros como los dientes de gallina. Un número perfecto par debe ser una potencia de dos veces un primo, y el primo debe ser uno menos que una potencia de dos.

Si resolver todos los factores es demasiado trabajo, hay una manera más fácil de obtener la suma de Alícuotas si tiene la factorización prima. Probémoslo con 100, que es 2² x 5². Si sumo todos los poderes de 2 hasta 2², eso es 1 + 2 + 4 = 7. Luego, sumaré todas las potencias de 5 hasta 5², eso es 1 + 5 + 25 = 31. Multiplica 7 x 31, y obtienes la suma de todos los factores de 100, incluido el propio 100. Entonces, para obtener el Aliquot som, necesito restar 100 de 7 por 31, dando 217 – 100 = 117.

¿Por qué no pruebas este juego alguna vez, por ejemplo, cuando te cepillas los dientes? Vea lo que sucede cuando comienza con 220 o 276. ¡Avíseme!

Tuyo,
Mi Profe