En el artículo anterior comencé a contar la historia de un inusual curso de geometría de la escuela secundaria realizado en la Universidad Estatal de Ohio en la década de 1930. El curso ha sido diseñado y enseñado por el Prof. Harold F. Fawcett, quien más tarde publicó una cuenta en La naturaleza de la prueba (NCTM, 13 ° Anuario, Reimpresión 1995). Para citar del libro,

Probablemente nunca haya habido un momento en la historia de la educación estadounidense en que el desarrollo del pensamiento crítico y reflexivo no se haya reconocido como el resultado deseable de la escuela secundaria.

En opinión de Fawcett, la geometría era el curso más adecuado en la escuela secundaria para enseñar el pensamiento crítico y reflexivo. Proporciona una selección respetable de citas para respaldar su punto de vista y explicar la fuente de su insatisfacción con los cursos tradicionales. Tradicionalmente,

… el mayor énfasis se pone en un cuerpo de teoremas para ser aprendido en lugar de en el método por el cual estos teoremas están establecidos.

Como el resultado,

… hay poca evidencia que demuestre que los alumnos que han estudiado geometría demostrativa son menos crédulos, más lógicos y más críticos en su pensamiento que aquellos que no siguieron ese curso.

El valioso resultado para los estudiantes que toman un curso de geometría no es solo probar y aprender un conjunto de teoremas, sino adquirir hábitos mentales que salvarlos de forcejear en la conducta de la vida. No solo los estudiantes deben aprender a probar una cantidad de teoremas sino también comprender el naturaleza de la prueba, para que su capacidad analítica pueda ser transferido a situaciones no geométricas. ¿Y cómo se logra esto? Fawcett cita el punto de vista predominante

No se realizará ninguna transferencia a menos que el material se aprenda en relación con el campo al que se desea transferir. … La transferencia no es automática. No cosechamos más de lo que sembramos …

Fawcett concluye que la transferencia está asegurada solo por entrenamiento para transferencia, lo que explica la apertura no convencional de su curso (ver Parte I). Luego se ocupa de los métodos y procedimientos adecuados para tal estudio. Su tratamiento es tan pertinente para las discusiones de hoy en día (teniendo en cuenta la lógica y las maneras individuales de los niños, las discusiones grupales, el enfoque abierto, el descubrimiento y la investigación) que el experimento y el libro de Fawcett merecen ser mejor conocidos entre los educadores matemáticos. El objetivo de la discusión de apertura fue establecer la necesidad en las definiciones acordadas, que parecía ajeno al pensamiento de los alumnos. Por ejemplo, desde el principio todos los estudiantes estuvieron de acuerdo en que "Abraham Lincoln pasó muy poco tiempo en la escuela" y nadie planteó el punto de que la verdad de esta afirmación depende de cómo se define "escuela". Entonces, comenzando con la primera reunión, los estudiantes fueron guiados a reconocer la importancia de las definiciones y, más tarde, la necesidad en términos indefinidos. Se les enseñó a reconocer la presencia de suposiciones implícitas incluso en las actividades más elementales de la vida.

Flener entrevistó a Warren Mathews, un graduado de curso. Los comentarios de Mathews fueron,

Recuerdo todo nuestro trabajo con definiciones. Cuando era vicepresidente en Hughes, y ahora en mi trabajo con mi iglesia, me doy cuenta de lo importantes que son las definiciones. Es sorprendente que cuando podemos ponernos de acuerdo sobre nuestras definiciones, la mayor parte del conflicto termine.

A lo que Flener comentó

En el campo de la educación, probablemente argumentemos con propósitos cruzados más porque no tenemos las mismas definiciones en mente.

¡Cuan cierto! ¡Y qué triste! Excepto por supuesto que los educadores de matemáticas no tienen una razón particular para sentirse individualizados en este respecto. "En el campo de la educación" debe considerarse como una designación genérica.

Pero intentemos aplicar los conceptos básicos del curso al curso mismo. ¿Es correcto designar el experimento de Fawcett el curso de geometría? ¿Qué hace que una interacción de un año de un grupo de estudiantes con uno o más profesores en un año escolar sea un curso de geometría? ¿Puedes pensar en una definición adecuada?

¿Cómo se relaciona con el comentario de Fawcett? [p. 102 of his book]?

Si bien el control de la materia geométrica no era uno de los propósitos principales que debían cumplir los alumnos de la clase A, sin embargo, parecía deseable comparar sus logros en este sentido con los de los alumnos que habían seguido el curso habitual de geometría.

Creo que la descripción "Curso de pensamiento crítico con aplicaciones a la geometría" sirve bien para el propósito, los procedimientos y los resultados del curso de Fawcett. ¡La transferencia de habilidades ocurrió en la dirección opuesta a la meta declarada! Lo que el experimento de Fawcett demuestra de manera muy convincente es que el desarrollo de las habilidades de pensamiento crítico ayuda a los estudiantes a dominar las matemáticas, incluso cuando no sienten especial aprecio por el tema.

Al final del curso, Fawcett entrevistó a los padres de los estudiantes. Desde el punto de vista de sus padres, el curso ayudó a 16 estudiantes a mejorar su capacidad de pensar críticamente, pero solo 3 de un poco más de 20 estudiantes aprendieron a apreciar las matemáticas.

¿Y qué?

En un artículo de 1997 ¿Son las matemáticas necesarias?, Underwood Dudley argumenta que la respuesta a la pregunta en el título de su trabajo es un sonido No. Él termina el artículo con un juego de palabras,

¿Las matemáticas son necesarias? No. Pero es suficiente.

Esto puede o no ser así. Pero, en cualquier caso, algunas cosas parecen ser más suficientes que otras. (Una discusión sobre para qué las matemáticas pueden ser suficientes, podría encajar perfectamente con el curso de geometría de Fawcett.) Acabamos de ver cómo las habilidades de pensamiento crítico ayudaron a estudiar matemáticas. Flener también relaciona el éxito del curso con el hecho de que los estudiantes que tomaron el curso fueron veteranos de la Escuela de la Universidad de tres años y se utilizaron para abrir investigaciones terminadas.

A continuación se encuentra una cita más completa del artículo de Dudley:

¿Puedes recordar por qué te enamoraste de las matemáticas? No fue, creo, debido a su utilidad para controlar los inventarios. No fue por el deleite, la sensación de poder y satisfacción que dio; los teoremas que inspiraron admiración, o júbilo, o asombro; la maravilla y la gloria de lo que creo que es el logro intelectual supremo de la raza humana? Las matemáticas son más importantes que los trabajos. Los trasciende, no los necesita.

¿Las matemáticas son necesarias? No. Pero es suficiente.

Sin duda, el matemático Fawcett conocía y podía apreciar la gloria y la belleza de las matemáticas. Era un maestro sobresaliente y podría, si quisiera, hacer un mejor trabajo transmitiendo a sus alumnos esta sensación de belleza y asombro compartida por todos los matemáticos. Al parecer eligió no hacerlo. Su objetivo era enseñar a los estudiantes, a través de la interacción con las matemáticas, pensamiento crítico y reflexivo. Pero los objetivos de la educación son muchos: la adquisición de habilidades útiles, la absorción de las culturas locales y globales, el desarrollo del potencial innato. Las ofertas de cursos pueden y deben coincidir con una variedad de objetivos. Es lógico que la forma en que se planifica y lleva a cabo un curso de matemáticas debe apuntar a un objetivo particular. No existe una sola forma correcta de enseñar y estudiar matemáticas.

Las definiciones son importantes. Para resolver las discusiones cruzadas, no es menos importante aceptar la posibilidad de que un enfoque sea tan correcto o tan bueno como otro, quizás para un fin diferente.