Matemáticas avanzadas: ¿qué significa todo esto?

Si crees que las matemáticas son un tema difícil, debes intentar estudiar algunas de las ramas más avanzadas como el álgebra abstracta antes de llegar a esa conclusión. Es en estos reinos superiores de este tema tan distinguido que uno aprende sobre estructuras matemáticas como grupos, campos y anillos, y las propiedades inherentes a estos objetos. Después de una excursión a través de reinos tan misteriosos, uno sale con una nueva apreciación de este tema tan fascinante.

¿Qué hace una rama avanzada de las matemáticas como Álgebra abstracta preocuparse por? En pocas palabras, este campo intenta clasificar y categorizar conjuntos matemáticos con el resultado final de poder resolver problemas que comparten ciertas características. Para dejar en claro el chiste anterior declarado, veamos algunos ejemplos específicos. Tome el conjunto de ecuaciones lineales, que toman la forma y = ax + b, donde a y b son números reales y a no es 0. El conjunto de todas esas ecuaciones forma una clase matemática y, como resultado, cualquier miembro de este conjunto comparte un número de propiedades similares. Las constantes variables a y b determinan las diferencias como la pendiente de la línea y el punto en el que gráficamente, la línea cruza el eje y, también conocida como la intersección en y.

Al estudiar un conjunto de objetos de este tipo, los matemáticos pueden categorizar las propiedades inherentes a la clase y así sacar conclusiones sobre lo que es y lo que no es posible con respecto a este conjunto. Por ejemplo, en la clase de ecuación lineal y = ax + b, podemos reescribir esto como ax + by = c, nuevamente donde a, b y c son números reales y a y b no son 0. (Si son 0, entonces ya no tenemos una ecuación lineal en x e y) Ahora si restringimos a, b, y c en un subconjunto de los números reales, los enteros, tenemos una nueva clase llamada ecuaciones diofánticas lineales. Estos se convierten en un curioso conjunto de objetos, y uno que se encuentra abundando en la vida real. Por ejemplo, muchas aplicaciones en el mundo real requieren la solución de tales ecuaciones lineales con la restricción de que a, byc son números enteros. Un ejemplo sería en agricultura donde tal ecuación podría representar la producción de leche de ganado.

Supongamos que en una granja, hay dos tipos de ganado, que llamaremos Ganado A y Ganado B. Ganado A produce 30 galones de leche por semana, y Ganado B produce 40 galones de leche por semana. Para que la granja cumpla con sus cuotas de entrega, se necesitan 1000 galones de leche por semana. ¿Cuántos de cada tipo de ganado satisfarán esta cuota?

Tal problema requiere que los matemáticos estudien la clase de ecuaciones diofánticas lineales. Analizando analíticamente esta clase y encontrando propiedades y características comunes, los matemáticos pueden finalmente resolver tales preguntas provocadoras de "ganado". Al estudiar esta clase, los matemáticos obtendrán ciertas propiedades inmutables o rígidas que unirán a la clase. Estas propiedades rígidas se convierten en teoremas que se pueden usar para decidir si un determinado problema puede resolverse o no. De hecho, fue el estudio de las ecuaciones diofánticas de segundo orden lo que condujo al último teorema histórico de Fermat, que solo fue resuelto recientemente. Este problema no se resolvió durante cientos de años, después de haber sido dejado en los márgenes de un manuscrito por el matemático francés Pierre de Fermat.

Por lo tanto, si crees que las matemáticas más avanzadas existen solo para confundir, piensa de nuevo. Es este dominio superior lo que nos permite avanzar implacablemente en nuestro mundo tecnológicamente orientado. Para que aprecies este reino superior, en algunos artículos futuros continuaré explorando este tema con más detalle. Por ahora muerde lo que tienes y comienza a apreciar este campo tan extraordinario.