¿Las matemáticas son reales o inventadas?

Cuando aprendemos que, digamos, 2 + 2 = 4, ¿es eso algo realmente cierto sobre el universo, o es algo inventado por un hombre de las cavernas? ¿Existe un cubo como algo más que un producto de nuestra imaginación?

La mayoría de los matemáticos profesionales tienen la sensación de que las matemáticas realmente existen. Por ejemplo, en 2005 un colega mío y yo descubrimos una nueva forma. Obtienes esta forma pegando 5,003,460 icosaedros de una manera especial. Y aunque esta forma no era conocida por nadie antes de 2005, existe un sentido en el que existía antes de eso, implícito en las leyes de la lógica que guían la realidad. De la misma manera, cuando las personas encuentran algún truco nuevo para, por ejemplo, multiplicar números, siempre encontramos que tampoco

• el nuevo truco da las mismas respuestas para las mismas sumas de multiplicación que todos los trucos antiguos,
• excavar lo suficientemente profundo y habrá alguna razón lógica por la cual el nuevo truco está mal.

La idea de que las matemáticas se descubren, no se inventan, se confirma por el hecho de que las matemáticas están llenas de extrañas coincidencias. Los patrones que aparecen en un área de las matemáticas a veces también aparecen en áreas de las matemáticas completamente no relacionadas, y solo unos años después, algún genio hace la conexión lógica entre las dos áreas. Si las matemáticas fueran simplemente inventadas, ¿por qué las personas que trabajan en campos completamente diferentes inventarían el mismo patrón? Y si lo hicieron, ¿por qué deberíamos esperar que alguien pueda hacer una conexión lógica?

Todo es muy convincente para la mayoría de los matemáticos.

Sin embargo, un contraargumento se me ocurrió el otro día. Comienza así:

¿Crees que existen los unicornios?

La mayoría de la gente diría que no. El resto del argumento se vuelve un poco técnico, pero comienza así: ¿crees que existe la función cos (x)? Esta función, además de ser útil en trigonometría, también es una solución para un ecuación diferencial – una ecuación que vincula una función con sus derivadas. En este caso, es una solución para

y «= -y

Si eso te pasa por alto, no te preocupes demasiado por los detalles técnicos. El punto es, y ”= – y también tiene otras soluciones, por ejemplo, sin (x), o sin (x) -2cos (x), o 17.3cos (x) + 9801.252 sin (x). ¿Existen todos estos también? Sería difícil encontrar un matemático que negara que exista la función 17.3 cos (x) + 9801.252 sin (x), o cualquier otra solución de esta ecuación diferencial.

Entonces, ¿qué pasa con una ecuación diferencial más complicada? Digamos, y «= – sin (y * x + y ‘) / sqrt (exp (x + y’)), por ejemplo. ¿Todas sus soluciones realmente existen también?

Si es así, ¿qué pasa si escribimos un muy, muy, De Verdad ecuación diferencial complicada Digamos que escribimos la ecuación diferencial que describe el movimiento de cada trozo de materia y energía dentro de un parsec cúbico de espacio. Los físicos parecen creer que esto es posible, incluso si aún no saben cómo hacerlo.

¿Existen todas sus soluciones?

El problema con decir «sí» es que algunas de esas soluciones (seguramente) involucran unicornios con lunares rosados ​​y púrpuras retozando en prados en planetas llamados «tierra». El problema con decir «no» es que luego tiene que decidir dónde dibujar la línea: ¿por qué decir que las soluciones a algunas ecuaciones diferenciales «realmente existen», pero no las soluciones a otras, y cómo decide qué ecuaciones diferenciales son cuáles? ?

Probablemente la mejor respuesta es que hay diferentes maneras en que algo puede «existir». El cubo, la función coseno y el unicornio existen, implícitos en las leyes de la lógica que impulsan el universo. Sin embargo, no existen en la manifestación física de esas leyes que tenemos la costumbre de llamar «el mundo real».

También implica que una encuesta de todos conocido las matemáticas no te dirían mucho sobre qué tipo de cosas existen en la realidad matemática. Diría mucho más sobre qué tipo de razonamiento lógico Homo Sapiens encuentra útil o bonito.