La matemática de “Recoger los 12”

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“¡Juguete gratis en cada paquete! ¡Recoge los 12!

¿Alguna vez te has preguntado por qué las empresas ofrecen promociones como esta? ¿Cuántos paquetes de cereal tendrías que comprar para tener una oportunidad decente de recolectar los doce? ¡Veamos qué dicen las matemáticas!

Entonces, su hijo ha comenzado una colección de juguetes de paquetes de cereales. Hasta ahora, tienen un juguete de la colección, todavía hay 11 para coleccionar. Entonces, vas y compras un paquete de cereal, y contiene un juguete. Probablemente (una probabilidad de 11 en 12) obtendrá un juguete diferente, por lo que habrá expandido con éxito la colección de su hijo con solo un paquete de cereal. Sin embargo, existe una pequeña posibilidad (1 de cada 12) de que este primer paquete que compre contendrá el mismo juguete que su hijo ya tiene. Si un millón de padres estuvieran haciendo lo mismo que usted, alrededor de 83000 encontrarían que tendrían que comprar un segundo paquete. De ellos, alrededor de 7000 serían lo suficientemente desafortunados como para tener que obtener el mismo juguete una vez más y necesitar comprar un tercer paquete, alrededor de 600 necesitarían comprar un cuarto paquete, 50 más o menos un quinto, y un pequeño puñado de padres necesitaría comprar seis o más paquetes de cereal para obtener el segundo juguete diferente de la colección.

Como la mayoría de los padres necesitan comprar 1 paquete, pero un número pequeño necesita comprar más, el número promedio de paquetes que puede esperar comprar es poco más de 1. De hecho, dado que la probabilidad de obtener un juguete nuevo es de 11 en 12, el número promedio de paquetes de cereales que deberá comprar es 12/11, o 1.090909.

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Entonces, ahora tienes dos de los doce juguetes. ¿Cuántos paquetes necesitarás comprar para obtener un tercero?

Ahora, cuando compra un paquete de cereal, tiene una probabilidad de 10 en 12 de obtener un juguete nuevo, y una probabilidad de 2 en 12 de obtener uno que su hijo ya tiene. Estas siguen siendo probabilidades bastante buenas, por lo que el número promedio de paquetes que puede esperar comprar debe ser ligeramente superior a 1. De hecho, es 12/10 o 1.2.

Cuando su hijo tenga tres juguetes, deberá comprar, en promedio, 12/9 o 1.333333 paquetes para que su hijo tenga un cuarto juguete nuevo. Para obtener el quinto juguete nuevo se necesitan, en promedio, 12/8 o 1.5 paquetes, y el sexto juguete tomará 12/7 o 1.714286 paquetes. Estas probabilidades ya no son tan buenas, pero pronto empeoran a medida que se acerca la finalización de la colección de su hijo. Antes de ver cuánto peor, sumamos cuántos paquetes de cereal ha comprado hasta ahora.

Usted compró 1 para obtener el primer juguete. En promedio, necesitará 1.090909 para obtener el próximo juguete, y así sucesivamente. El número total de paquetes para obtener 6 de los 12 juguetes es 1 + 1.090909 + 1.2 + 1.333333 + 1.5 + 1.714286 paquetes de cereal, o 7.84 paquetes. Casi ocho paquetes de cereal para seis juguetes. Esas son malas noticias para usted, buenas noticias para la compañía de cereales, y la colección de su hijo está lejos de ser completa …

Los juguetes 7, 8 y 9 le cuestan 12/6, 12/5 y 12/4 paquetes cada uno, en promedio. Esos son otros 7.4 paquetes de cereal para solo 3 juguetes nuevos. Los siguientes dos juguetes le costarán 4 y 6 paquetes de cereal cada uno. Luego, el último duodécimo juguete lleva un período interminable de “¡por favor! ¡¡Sólo uno más!!” acompañado de viajes al supermercado y múltiples decepciones ya que cada juguete nuevo es uno de los 11 recogidos anteriormente. Si persiste, tomará un promedio de 12 paquetes de cereal antes de encontrar el último juguete perdido. Puede esperar comprar unos 37 paquetes de cereales para completar la colección de 12.

Si hay N juguetes, el promedio será, en cambio, N x (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +… + 1 / N). Esta suma complicada entre paréntesis puede ser aproximada usando una función llamada “logaritmo natural”. Lo encontrará en una calculadora científica (busque el botón “ln”), o Google puede resolverlo por usted. Escriba 12 * ln (12) en Google para ver a qué me refiero.

En realidad, ln (N) siempre es un poco más pequeño que 1/1 + 1/2 + 1/3 +… + 1 / N. Para N grande, lo hará mejor con ln (N) + 0.57. El número 0.57 es un número especial llamado constante de Euler (con dos decimales). Google también puede resolver esto por usted.

Pero los detalles técnicos no son tan importantes. El punto es que “recoger los 12” no es lo mismo que “comprar 12 paquetes de cereal”. Si la compañía de cereales puede enganchar a su hijo, está viendo tres veces más desayunos de su marca. Y empeora a medida que aumenta la cantidad de juguetes: recolectar 16 juguetes diferentes costaría alrededor de 55 paquetes de cereales. Una vez vi un letrero que decía “¡recoge los 28!” Me alejé rápidamente.

Pero empeora: en realidad, hay muchas variaciones en la cantidad de paquetes que deberá comprar. Fácilmente podría tener que comprar unos 13 más o menos que el promedio, para recoger los 12 juguetes. Aproximadamente 1 de cada 40 padres tendrá la mala suerte de tener que comprar 64 paquetes de cereales para una colección de 12 baratijas.

Finalmente, todas estas matemáticas asumen que cada juguete tiene la misma probabilidad de estar en cada paquete. Una compañía de cereales inteligente podría hacer que el duodécimo juguete sea tan raro que solo 1 de cada 100 paquetes lo contenga. ¡Entonces todos estos números pueden ir por las nubes!

Tenga en cuenta estas matemáticas la próxima vez que su hijo le pida que compre esta o aquella marca de cereal para completar una colección de juguetes …

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