Fracciones de pan plano

Hace algún tiempo, publiqué un rompecabezas de fracciones que involucraba pan plano. Usted puede leer sobre ello aquí. Aquí está la pregunta: si tomo un trozo de pan plano y le doy la mitad, me devuelve un cuarto, luego le devuelvo un octavo y me devuelve 1/16, y así hasta el infinito, ¿cómo? Qué gran parte del pan plano original tengo?

Si has estudiado series geométricas, este es un problema fácil, pero ¿y si no lo ha hecho? ¿Hay alguna forma de encontrar la respuesta? ¿Podemos saber a qué se suma 1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + 1/16 – …?

Para citar a Bob the Builder y Barack Obama: si podemos!

Así es como lo haces. Supongamos que estoy allí, intercambiando pedacitos de pan contigo.

¡¡¡Te tengo una buena noticia!!!
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  • Primero, pienso: “Comienzo con 1 pieza de pan, luego pierdo 1/2, luego gano 1/4, luego pierdo 1/8, y así sucesivamente. Terminas con una fracción X del pan, y obtengo 1-X “
  • Entonces, me imagino “¿Y si intercambiamos roles? Luego terminas con 1-X del pan y yo termino con X del pan. Para obtener mi X, primero recibo la mitad del pan, luego te doy 1/4, luego tomo 1/8, luego me doy 1/16, y así sucesivamente “
  • Entonces me imagino: “¿Y si comenzamos con el doble de pan? Entonces comienzas con 2 pedazos de pan, luego me das 1. Luego renuncio a 1/2 y tomo 1/4, luego de 1/8, y así sucesivamente. Como todas las cantidades de pan se duplican, ahora tengo 2X “
  • Sin embargo, en lo que a mí respecta, esta es exactamente la misma situación que describí al principio: comienzo con 1 pedazo de pan, luego pierdo 1/2, luego gano 1/4, luego pierdo 1/8 y etc. Acabamos de descubrir que esto me da 2X de pan, donde X es lo que te da.

Entonces, este procedimiento me da el doble de pan que tú. Como solo hay 1 pieza de pan, debo tener 2/3 y tú tienes 1/3.

Si entiendes este truco, estás a medio camino hacia la comprensión de series geométricas en general.

¿Puedes usar un truco similar para calcular 1 – 1/3 + 1/9 – 1/27 + 1/81 – …?

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