Deconstruyendo el Día de los Inocentes
De acuerdo, lo admito: mi publicación de blog anterior se publicó el 1 de abril. Los fundamentos de las matemáticas no están realmente bajo ataque, no ahora. Pero fueron una vez!
Aquí hay un famoso rompecabezas: imagina a un barbero del pueblo, que corta el cabello de todos los que no se cortan el suyo. Suena bastante simple, pero ¿quién corta el pelo del barbero?
A fines del siglo XIX, uno de los fundadores de la lógica moderna, Friedrich Frege, estaba escribiendo una base lógica completa para toda la matemática. Bertrand Russell leyó el trabajo de Frege en 1901, y se dio cuenta de que dio lugar a un rompecabezas como el del barbero del pueblo. Le escribió a Frege y señaló que debe haber un «conjunto de todos los conjuntos que no se contienen».
¿Por qué fue esto un problema? Bueno, pensemos en el barbero. Cortará el cabello de John, porque John no se corta el suyo. Eric se corta el cabello, así que el barbero no. Entonces, ¿el barbero se corta el cabello?
- Si lo hace, entonces se corta el cabello. Eso significa que no lo hace.
- Si no lo hace, entonces no se corta el cabello, entonces lo hace.
De cualquier manera, hay una contradicción. La única forma de escapar de la paradoja del barbero de la aldea es rechazar la descripción del rompecabezas, claramente la información dada sobre quién cortó el cabello que estaba mal.
En el sistema de Frege, el «conjunto de todos los conjuntos que no se contienen”Debe existir. ¿Se contiene a sí mismo?
- Si no se contiene a sí mismo, entonces lo hace, porque contiene todos esos conjuntos.
- Si se contiene a sí mismo, entonces no lo hace, porque solo contiene conjuntos que no se contienen a sí mismos.
No hay forma de resolver esta paradoja, excepto rechazar el sistema de Frege. Tal como estaba, dio lugar a contradicciones. Algunos de los axiomas deben estar equivocados.
El sistema de Frege fue reemplazado rápidamente: muchos matemáticos inventaron nuevos sistemas axiomáticos, tratando de evitar la paradoja de Russell. El sistema que finalmente se adoptó como la corriente principal era un conjunto de axiomas sobre conjuntos de Zermelo y Fraenkel.
Hasta donde sabemos (y no hay forma de probar esto con seguridad), la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel evita paradojas como la de Bertrand Russell. Sin embargo, resulta tener lagunas.
Aquí hay uno:
Hace un par de semanas, hablamos de números infinitos. Ahora hay diferentes tamaños de números infinitos. Por ejemplo, hay estrictamente más números reales que números enteros, lo que significa que no importa cómo intente alinear los números reales en una lista, siempre faltarán algunos números.
En los fundamentos matemáticos de Zermelo y Fraenkel, es imposible saber si hay un número infinito estrictamente más grande que los números enteros, y estrictamente más pequeño que los números reales.
Entonces, los números infinitos son súper raros. ¿Agregarlos? Fácil. ¿Multiplicarlos? También super fácil. ¿Descubrir el siguiente número infinito más grande? Lo siento, eso es imposible.
Entonces, sí, cuando se demostró que el sistema de Frege tenía una contradicción, realmente fue reemplazado por algo aún más extraño.
