Dados y polinomios – Parte 2

¿Pueden los polinomios ayudar a inventar nuevos dados En mi última publicación de blog, expliqué cómo calcular rápida y fácilmente, por ejemplo, la cantidad de formas de obtener un 10 en tres dados, simplemente multiplicando algunos polinomios. No tiene que ser dados reales, por supuesto. El truco funciona igual de bien para hilanderos, bolas en un sombrero o generadores de números aleatorios de computadora El truco es así: Representa los tres dados por un polinomio. Un dado ordinario le da al polinomio x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6, con una potencia de x para cada una de sus caras.

  • Multiplica los polinomios juntos. Tres dados dan x3 + 3x4 4 + 6x5 5 + 10x6 6 + 15x7 7 + 21x8 + 25x9 9 + 27x10 + 27x11 + 25x12 + 21x13 + 15x14 + 10x15 + 6xdieciséis + 3x17 + x18 años .
  • Luego, solo lea el número de combinaciones para cada número. El coeficiente de x10 es 27, entonces hay 27 formas de obtener un 10 en tres dados. (¿No me crees? ¡Cuenta y deja un comentario a continuación!)

Esto es muy divertido: si conoce este truco, puede hacer ciertos tipos de sumas de probabilidad mucho más rápido que con cualquier otro método. Sin embargo, la verdadera diversión no viene de multiplicar los polinomios por un dado o un juego de dados, sino factorización eso.

El polinomio para un dado normal de seis lados es x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6. Puedo factorizar esto parcialmente como (1 + x) (x + x3 + x5 5) Esto me dice que, usando el truco de la publicación anterior,

  • Tomaré una moneda, con un lado en blanco y un punto en el otro lado.
  • También tomaré una ruleta, con los números uno, tres y cinco.
  • Sus polinomios son 1 + x y x + x3 + x5 5.
  • Si multiplico estos juntos, obtengo x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6.

Entonces, con mi moneda y mi ruleta, hay exactamente una forma de obtener 1, exactamente una forma de obtener 2, exactamente una forma de obtener 3, y así sucesivamente. ¡He hecho un dado de seis caras con una moneda y una ruleta triangular!

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Otra forma de factorizar x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6 es como (1 + x3) (x + x2 + x3) Entonces, puedo imitar un dado de seis lados como

  • una ruleta con los números 1, 2 y 3, dando polinomio x + x2 + x3y
  • una moneda, un lado sin puntos, el otro lado con 3 puntos, dando polinomio 1 + x3.

Podríamos encontrar todos los posibles sustitutos de un dado normal enumerando todas las diferentes formas de factorizar su polinomio. Desafortunadamente, todas las otras factorizaciones nos piden que coloquemos ciertos números en números negativos (o peor, complejos) de caras de nuestra rueda giratoria.

Entonces, para más entretenimiento, recurrimos a pares de dados normales. El polinomio para un par de dados normales es (x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6) (x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6) o (x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6)2. Si factorizo ​​esto completamente, obtengo x2 (1 + x)2 (1 + x + x2)2 (1 – x + x2)2. Quiero elegir algunos de estos 8 factores (contarlos), multiplicarlos para obtener un plan para un spinner o un dado elegante. Los factores restantes darán el plan para otro, y estos dos dados o hiladores simularán un par de dados normales de 6 lados.

Dato útil: si configuro x = 1, obtengo el número total de caras en mi ruleta o dados. Un dado normal tiene 1 + 12 + 13 + 14 4 + 15 5 + 16 6 = 6 caras. Un par de dados, con polinomio (x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6)2, se puede simular con una ruleta con (1 + 12 + 13 + 14 4 + 15 5 + 16 6)2 = 36 lados.

Si pongo x = 1 en los cuatro factores diferentes de (x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6)2, Yo obtengo

  • 1 para x
  • 2 para 1 + x
  • 3 para 1 + x + x2
  • 1 para 1-x + x2.

Esto hace que sea fácil elegir, de antemano, cuántas caras en cada uno de nuestros hilanderos o dados. Si quiero hacer un polinomio para un dado de 6 lados, usando estos factores, necesito incluir uno de 1 + xy uno de 1 + x + x2 como factores En buena medida, también incluiré 1 de x. Aquí hay una posibilidad para mi dado y su compañero:

  • x (1 + x) (1 + x + x2) (1 – x + x2) y x (1 + x) (1 + x + x2) (1 – x + x2)

esto es lo que obtengo si hago que el dado y su compañero sean iguales. Los polinomios se multiplican para dar x2 (1 + x)2 (1 + x + x2)2 (1 – x + x2)2o (x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6)2, tal como deberían. Desafortunadamente, eso se debe a que cada individuo se multiplica para dar x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6. Eso no es muy interesante, significa que mis dos dados son dados normales. Ya sabemos que dos dados normales dan el mismo número de combinaciones que dos dados normales.

Entonces, pasemos uno de los factores de un dado al otro, y usemos

  • x (1 + x) (1 + x + x2) (1 – x + x2)2y x (1 + x) (1 + x + x2)

Estos polinomios todavía se multiplican para dar x2 (1 + x)2 (1 + x + x2)2 (1 – x + x2)2o (x + x2 + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6)2. Pero son polinomios diferentes, por lo que deben dar dados diferentes. Entonces –

  • Multiplica los polinomios x (1 + x) (1 + x + x2) (1 – x + x2)2y x (1 + x) (1 + x + x2)
  • Esto da x + x3 + x4 4 + x5 5 + x6 6 + x8 y x + 2x2 + 2x3 + x4 4 .
  • El primero de ellos representa un dado con caras 1, 3, 4, 5, 6 y 8.
  • El segundo representa un dado con caras 1, 2, 2, 3, 3 y 4.

Entonces, si hacemos estos dos dados, ¡las probabilidades de obtener un número particular cuando los lance serán exactamente los mismos que si hubiera lanzado dos dados normales! Estos asombrosos dados no estándar se llaman dados de Sicherman y fueron descubiertos en la década de 1970. Por supuesto, puede obtenerlos en Amazon.com, ¡pero probablemente sea más divertido hacer su propio par!

Aún más divertido, aún así, es usar los trucos aquí para encontrar otros pares de dados extraños o locos: ¿puedes encontrar, por ejemplo, un par de dados de cuatro lados no estándar que brinden las mismas probabilidades que el par estándar? ¿O dados de 12 o 20 lados? Encontrar dados de cuatro lados será más fácil que los tamaños más grandes, por lo que si desea comenzar, comience allí.

Si realmente quiere profundizar en esto, intente buscar en Google “polinomios ciclotómicos”, que resultan ser muy útiles para este tipo de rompecabezas, ¡pero muchas de las explicaciones en la web son (tenga cuidado) bastante técnicas!

(1 – x + x2)

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