Dados y polinomios – Parte 1

Imagina que tienes dos monedas. Un lado está en blanco y uno tiene un solo punto. Lanzas las monedas. ¿De cuántas maneras puedes obtener 0 puntos? ¿De cuántas maneras puedes obtener 1 punto? ¿De cuántas maneras puedes obtener 2 puntos?

Si obtuvo respuestas como «1 vía / 2 vías / 1 vía», lo hizo correctamente.

Ahora, otra pregunta. Si multiplico juntos 1.x^{0 0} + 1.x¹ y 1.x^{0 0} + 1.x¹, es decir, (1 + x) veces (1 + x), cuál es el coeficiente de x^{0 0} ? de x¹ ? de x² ? Si obtuvo respuestas como «1/2/1», lo hizo bien.

Si hace preguntas similares para tres monedas, o (1 + x)³, todavía obtienes las mismas respuestas: 1, 3, 3 y 1. Hay una buena razón para esto: la pregunta “¿de cuántas maneras puedes obtener 2 puntos?” es, de alguna manera, la misma pregunta que “cuál es el coeficiente de x² ? ”. Esto tiene enormes implicaciones, brinda una nueva y excelente forma de calcular las probabilidades, y más.

Imagina que tengo una moneda. O un dado. Lo que sea. Algunas de las caras tienen puntos. Representaré cada punto por ‘x’. Los puntos que aparecen en un lado se multiplicarán todos juntos, por lo que una cara con tres puntos sería x³. Una cara con un punto sería x³, o x, y uno sin puntos sería x^{0 0}, o 1. Entonces, las dos caras de mi moneda son 1 yx, y las 6 caras de un dado normal son x, x², X³, X^{4 4}, X^{5 5} y x^{6 6}.

Ahora, ¿qué pasa con la moneda entera o morir? Para representar todo el dado, sumaré todas sus caras. Las monedas al principio son 1 + x, y un dado normal es x + x² + x³ + x^{4 4} + x^{5 5} + x^{6 6}. O, si tuviera un dado extraño cuyas caras fueran 1, 2, 2, 2, 3 y 3, estaría representado por el polinomio x + x² + x² + x² + x³ + x³, es decir, x + 3x² + 2x³.

En estos polinomios, el coeficiente de cada potencia de x representa la cantidad de formas de obtener esa cantidad de puntos. Entonces, para mi extraño dado, el coeficiente de x² es 3 porque hay tres formas de obtener un 2.

Ahora, ¿por qué nos tomamos la molestia de escribir polinomios que representan estos dados? Llega cuando quieras tirar dos o más de estos dados, y cuenta cuántas maneras hay para obtener ciertos números. Si yo

• toma dos dados
• resolver sus polinomios
• multiplique los polinomios para obtener un nuevo polinomio

entonces el nuevo polinomio me dice la cantidad de formas de obtener cada número de puntos cuando lanzo el par de dados, tal como lo hace cada polinomio individual para su dado individual.

• Si tomo dos dados normales,
• Sus polinomios son x + x² + x³ + x^{4 4} + x^{5 5} + x^{6 6} y x + x² + x³ + x^{4 4} + x^{5 5} + x^{6 6},
• que se multiplican para dar x² + 2x³ + 3x^{4 4} + 4x^{5 5} + 5x^{6 6} + 6x^{7 7} + 5x⁸ + 4x^{9 9} + 3x¹⁰ + 2x¹¹ + x¹² ,

y esto me dice que hay 2 formas de obtener un 3, 3 formas de obtener un 4, 6 formas de obtener un 7 y solo 1 forma de obtener un 12. Por eso, cuando juegas al monopolio, obtienes 6 , 7’s y 8’s casi la mitad del tiempo. Veamos otro ejemplo.

• Si tomo dos dados divertidos, cuyas caras son 1, 2, 2, 2, 3 y 3,
• sus polinomios son x + 3x² + 2x³ y x + 3x² + 2x³ ,
• que se multiplican para dar x² + 6x³ + 13x^{4 4} + 12x^{5 5} + 4x^{6 6},

entonces hay 1 forma de obtener un 2, seis formas de obtener un 3, trece formas de obtener un 4, y así sucesivamente.

Este truco funciona con tres dados, cuatro o cualquier cantidad de dados. Por ejemplo,

• Si tomo tres dados normales,
• Sus polinomios son x + x² + x³ + x^{4 4} + x^{5 5} + x^{6 6}, x + x² + x³ + x^{4 4} + x^{5 5} + x^{6 6}y x + x² + x³ + x^{4 4} + x^{5 5} + x^{6 6},
• que se multiplican para dar x³ + 3x^{4 4} + 6x^{5 5} + 10x^{6 6} + 15x^{7 7} + 21x⁸ + 25x^{9 9} + 27x¹⁰ + 27x¹¹ + 25x¹² + 21x¹³ + 15x¹⁴ + 10x¹⁵ + 6x^dieciséis + 3x¹⁷ + x^{18 años} ,

Entonces, aunque solo hay 10 formas de obtener 16, 17 o 18, hay 100 maneras de obtener un 8, 9, 10 u 11, lo que explica por qué siempre tuvimos que hacer trampa para crear personajes de Dungeons and Dragons que realmente podrían sobrevivir a un típico aventuras.

Entonces, al representar los dados como polinomios, algunas preguntas de probabilidad endiabladamente difíciles de repente se vuelven fáciles. Ahora sabe cómo resolver, por ejemplo, la posibilidad de obtener un 10 en tres dados de cuatro lados: simplemente multiplique algunos polinomios, en lugar de hacer el recuento de combinaciones contorsionado y complicado que creía que necesitaba antes.

Si desea obtener más información sobre esta técnica, las palabras para google son «funciones generadoras de probabilidad», o pase a Dados y polinomios – Parte 2.