Cómo contar triángulos

Rompecabezas: ¿Cuántos triángulos puedes ver en la figura a continuación?

Una forma de obtener la respuesta correcta es cerrar los ojos y decir «¡Ninguno! ¡No puedo ver ninguno! »

Por otro lado, tal vez quieras entrar en el espíritu del rompecabezas y contar los triángulos. ¡Adelante, inténtalo ahora!

Si eres como yo, comenzaste recorriendo el diagrama, buscando triángulos. Intentando combinar los pequeños quandrangles en tu cabeza y hacer un seguimiento de cuántos has encontrado. Poco a poco, las dudas comenzaron a aparecer, ¿me he perdido alguna? ¿Ya he contado ese? ¿Hay una mejor manera de hacer esto?

Bueno, lo hay. Un triángulo tiene tres lados, ¿recuerdas? Entonces, en lugar de encontrar los triángulos directamente, puedes encontrar trillizos de líneas. Harán un triángulo si se encuentran, pero en puntos diferentes. Entonces, adelante y rotula las líneas. Rotúlelos A, B, C, …

¡Excelente! Ahora, para encontrar un triángulo, necesitamos encontrar un triplete de líneas que se encuentren en tres puntos diferentes. Podríamos llamar a esto un «teorema», es una declaración de una verdad matemática (como el Teorema de Pitágoras). Podríamos intentar probar el teorema, así:

• Un triángulo tiene tres aristas y tres esquinas. Los bordes forman parte de una línea diferente y las esquinas son los lugares donde se encuentran las líneas. Por lo tanto, cada triángulo coincide con un conjunto de tres líneas que se encuentran en tres puntos diferentes.
• Además, si encuentra tres líneas que se unen en tres puntos diferentes, puede unir los puntos para obtener un triángulo.

Sin embargo, es mucho más divertido usar el teorema. Y lo usaremos para contar los triángulos en la figura de arriba. Hay 9 lineas. Primero, tenga en cuenta que

• Algunos pares de líneas no se encuentran. En lugar de enumerarlos todos en palabras, los he «enumerado» en un diagrama:

En el diagrama, he dibujado una línea roja entre A y H, porque las líneas A y H no se encuentran. Por lo tanto, no puedo incluir tanto A como H en un triple de líneas cuando estoy contando. Por otro lado, no hay un arco rojo entre H y C, por lo que estaría bien.

También :

• E, F, G y H se encuentran en el mismo punto, por lo que no puedo hacer un triángulo eligiendo tres de esas cuatro líneas. Por la misma razón, no puedo hacer AGB, BCF, BDH y BEI.

Comencemos a contar. Vale la pena hacerlo sistemáticamente.

• Con A&B, podríamos tener D, E o F. No podemos tener G, porque A, G y B se encuentran en el mismo punto. No podemos tener H o ​​yo, ya que no se encuentran con A. Eso es 3 triples de líneas.
• No podemos tener A&C
• Con A&D, podríamos tener E, F o G. (Ya hemos contado ABD, y ni H ni yo vamos con A) Eso son 3 triples más.
• Con A&E, podríamos tener F y G. Esos son dos triples más.
• A A&F, solo podemos agregar G, que es un triple más.
• Finalmente, aunque A&G puede ir de la mano, no podemos agregar H o ​​I al par, por lo que no hay más triples que involucren a A.

Eso es 3 + 0 + 3 + 2 + 1 = 9 triples, es decir, triángulos, que usan A.

Luego, podemos contar los triples que usan B (pero no A)

• Comenzando con B & C, no podemos agregar D (la línea D no cumple con C) o E (mismo motivo) o F (B, C y F se encuentran en el mismo lugar), pero tenemos triples BCG, BCH y BCI .
• Comenzando con B&D, obtenemos otros 3 triples.
• Comenzando con B&E, obtenemos otros 2 triples
• y así.

Conté 3 + 3 + 2 + 3 + 2 + 1 = 14 triples de líneas (trangles) usando B. ¿Cuántas obtuviste?

Luego, obtuve 6 triples comenzando con C, 6 comenzando con D, 3 con E, 2 con F y solo el triple (GHI) comenzando con G. Eso es 9 + 14 + 6 + 6 + 3 + 2 + 1 = 41 triangulos.

Encontré realmente útil escribir una tabla A a G en el costado, B a H en la parte superior, y en cada celda escribir el número de triángulos (triples) que encontré comenzando con cada par de líneas. ¡También me pareció más útil, al contar triples líneas, mantener mi ojo en el rompecabezas original, en lugar de en todos los análisis y gráficos! También (¡confieso, confieso!) Recibí la respuesta incorrecta al menos dos o tres veces antes de que obtuviera 41. ¿Quizás le gustaría verificar mi trabajo con más cuidado?