Aritmética del infinito

Los números infinitos son raros. Rechinan los dientes contra nuestra intuición. No se comportan como, en el fondo, creemos que los números deberían comportarse.

Eso no debería ser sorprendente, ya que nuestra intuición se formó en torno a pequeños números como 3.1, 4000 o siete mil millones y dos.

Hilbert contó una historia, en 1924, para ilustrar tres extrañezas de números infinitos. La historia se popularizó en este libro.

Hilbert imaginó un hotel con un número infinito de habitaciones. Eso es una gran cantidad de bienes raíces, pero imaginemos que el hotel usa alguna deformación hiperdimensional para que no ocupe más de la mitad de un gran continente.

De todos modos, un día, el hotel estaba lleno. Esto fue muy bueno para los negocios, por supuesto, pero luego llegó un nuevo viajero, pidiendo una habitación.

Algo así me sucedió una vez. Habíamos reservado una habitación en un hotel, y cuando llegamos, el hotel estaba lleno. Habían perdido nuestra reserva. Por desgracia, el hotel era solo finito, así que no pudimos quedarnos. Lleno está lleno, ¿no? Fueron lo suficientemente buenos, al menos, para encontrarnos una habitación en un hotel diferente y ayudarnos a mudarnos allí con nuestro equipaje.

Sin embargo, cuando su hotel es infinito, lleno ya no está lleno. El gerente del hotel infinito pudo acomodar al viajero. La conversación fue así.

Suena el teléfono en la habitación 1 y el ocupante levanta el auricular. «¿Hola?»

El gerente está en la línea. «Lo siento mucho, señor. Me temo que necesitamos pedirte que te mudes a una habitación diferente «.

«¿Oh enserio? ¿Por qué? ¡Acabo de desempacar!

«Entiendo que es un inconveniente terrible, y lo siento muchísimo. Como nuestra forma de decir cuánto lo apreciamos, no habrá ningún cargo por la estadía de esta noche «.

El huésped en la habitación 1 está algo apaciguado. «Oh, bueno, está bien, supongo. ¿A qué habitación me mudaré?

«Habitación 10».

Por supuesto, usted y yo sabemos que la habitación 10 está ocupada. Sin embargo, el gerente puede tener la misma conversación con el ocupante de la habitación 10 y trasladarlo a la habitación 100. El ocupante de la habitación 100 va a la habitación 1000, y así sucesivamente.

En un hotel finito, este método no funciona. Finalmente, nos quedamos sin habitaciones para trasladar a las personas. No es así en el hotel infinito.

Después de un número infinito de llamadas telefónicas y descuentos y propinas a los botones, cada persona en una habitación de potencia de diez ha pasado a la siguiente potencia de diez, y la habitación 1 ahora está vacía. Una limpieza rápida, sábanas nuevas, un refrigerador de barra relleno y la habitación está lista. El viajero se muda, justo a tiempo para tomar un café al final de la tarde, darse un chapuzón en la piscina y una selección del menú del servicio de habitaciones.

¿Cuántos invitados había al principio? Infinito. ¿Cuántos había después de agregar un invitado más? Exactamente el mismo número, infinito, pero también, infinito más 1.

Infinito más 1 es infinito. Este ejemplo lo muestra. ¡Te advertí que los números infinitos eran extraños!

Al día siguiente, llegaron cincuenta nuevos invitados. Por supuesto, esto no fue un problema para el gerente del hotel, que cambió a otros huéspedes para vaciar 50 habitaciones.

Sin embargo, al día siguiente, llegó un gran autobús turístico, y un número infinito de invitados salió, buscando habitaciones en un hotel infinito que ya estaba lleno.

El libro que mencioné anteriormente cuenta cómo el gerente hizo frente a este problema: ¿Puedes pensar qué podría hacer? Sugerencia: piense en números pares e impares.

Incluso al día siguiente, cuando llegó un convoy de infinitos entrenadores, cada uno con una infinidad de viajeros, el gerente pudo acomodarlos a todos.

Infinito más infinito es infinito. Infinito por infinito es infinito.

La aritmética básica que involucra números infinitos parece muy fácil, incluso si es muy contradictoria.

A medida que nuestra historia se cierra, el gerente está organizando un baile de gala e invitando a todos los huéspedes del hotel. Su proveedor solo trajo suficiente helado para que cada invitado tenga un tazón, pero de alguna manera cada invitado regresó por segundos, y todavía había helado de sobra. Esto, seguramente, no debería sorprendernos.