7 no es primo, y el último teorema de Fermat

 

Estaba leyendo un libro sobre números recientemente, y casi lo dejé cuando comenzó a hablar de números primos. El autor había tratado de resolver los factores primos de 72, llegó a 2 x 2 x 2 x 9, luego dijo “lo adivinaste, ¡9 es un número primo!” Arrgh!

Me acordé de esto recientemente, cuando discutí el número 7 con mi hijo. No recuerdo por qué, pero decidí insistir en que 7 no era primo.

Ahora, obviamente, 7 es primo. Como saben, un número primo es un número que no se puede factorizar, por lo que 7 es primo porque la única forma de escribir 7 como algo multiplicado por algo es escribir 1 x 7 o 7 x 1. Sus únicos factores son 1 y 7 .

Como es tan obvio que 7 es primo, déjame mostrarte por qué no lo es. Supongamos que tenemos un número especial (lo llamaré s, por “especial”) insertado entre nuestros números normales. Este número especial es especial porque su cuadrado es negativo. Específicamente, s x s = -3.

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Podemos hacer toda nuestra aritmética normal con estos números especiales. Podemos sumar luego a números normales, multiplicarlos, etc. Por ejemplo, si quiero hacer ejercicio 3 + s por 2-s, obtendría (3 + s) x (2-s) = 3 x (2-s) + sx (2-s) = 6 – 3 xs + 2 xs – sxs, es decir, la respuesta es 6, quita 3 veces s, luego suma 2 veces s, luego resta s veces s. Como s x s = -3, esto se puede escribir como 6 – s – (-3) o 9 – s.

Podríamos escribir una gran tabla de tiempos de todos estos números especiales. Si lo hiciéramos, descubriríamos algunas cosas sorprendentes. Una de esas cosas sorprendentes es que 7 ya no es primo. Por ejemplo, si hago ejercicio (2 + s) x (2 – s), obtengo 2 x 2 + 2 xs – 2 x 2 – sxs que es 4 – (-3), o 7. De repente, 7 tiene factores , a saber, 2-sy 2 + s.

Daré algunas de las respuestas: sí, todavía hay números primos (2 + s es uno). Y algunos de nuestros primos normales siguen siendo primos (pero no diré cuál :-)Ahora tenemos dos opciones. Por ejemplo, podríamos descartar todo el asunto. Podríamos decir que estos números “especiales” son artificiales. Contribuido Irreal. O podríamos imaginar que eran reales y continuar explorándolos. Después de todo, hay muchos tipos de preguntas que podríamos hacer sobre ellos. Por ejemplo, son hay primos? ¿Qué son? ¿Alguno de nuestros primos normales sigue siendo primo?

Pensar en estos extraños sistemas de números lleva a cosas aún más sorprendentes. Por ejemplo, si definimos un número t (para “problemático”), cuyo cuadrado es -5, entonces resulta que 9 es (2 + t) x (2-t). Sin embargo, 9 también es 3 x 3. Aún más sorprendente, ¡todos los 3, 2-t y 2 + t resultan primos!

Así que ahora tenemos una situación extraña: todo el tiempo, nos enseñaron que cuando factorizas los números a sus factores primos, siempre obtienes los mismos factores primos. Pero cuando incluye números problemáticos como t, esto de repente no es cierto. Puede factorizar 9 hasta 3 x 3, o hasta (2-t) x (2 + t).

Esto es algo tan extraño que puede haber tropezado con uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos, Pierre de Fermat. La mayoría de la gente ha oído hablar de su famoso “último teorema”. 3 x 3 es 9 y 4 x 4 es 16. Entonces, 9 + 16 es 25. Entonces puedes sumar dos números cuadrados y obtener un número cuadrado. Pierre de Fermat escribió una vez en el margen de un libro que nunca se podrían agregar dos cubos para obtener un cubo, o dos cuartos poderes para obtener un cuarto poder, o dos quintos poderes para obtener un quinto poder, o así sucesivamente para siempre. También escribió “He encontrado una maravillosa prueba de esto, pero el margen es demasiado pequeño para contenerlo”. Nunca escribió su “prueba maravillosa”, y el problema atrapó la imaginación de la gente durante siglos, y la gente comenzó a llamarlo el último teorema de Fermat, a pesar de que aún no se había probado.

De hecho, solo se demostró a fines del siglo XX: la larga prueba técnica ciertamente no es la “maravillosa” de Fermat; la matemática que utiliza es demasiado avanzada. El último teorema de Fermat aún captura la imaginación de las personas. Dejé de leer el libro de números para recoger un poco de ciencia ficción, el último libro de Arthur C Clarke. El personaje principal del libro es un genio de Sri Lanka apasionado por encontrar la prueba “maravillosa” original de Fermat.

Personalmente, creo que la maravillosa prueba original de Fermat es así. Si permite un número especial i, donde i x i = -1. Entonces, resulta que cualquier suma de cuadrados puede factorizarse. Por ejemplo, 3 x 3 + 4 x 4 = (3 – 4i) x (3 + 4i). Si factoriza 5 en sus factores primos, todos son factores de 3-4i o 3 + 4i. Esto se debe a que 9 + 16 = 25 = 5 x 5, y la regla a la que estamos acostumbrados sobre conjuntos únicos de factores primos todavía funciona aquí.

Fermat probablemente se dio cuenta de que una suma de dos los cubos también se pueden factorizar, usando un número especial w (no 1) donde wxwxw = 1. Entonces, la suma de dos cubos, digamos 34 ^ 3 + 9 ^ 3 se puede factorizar como (34 + 9) x (34 + 9w ) x (34 + 9w ^ 2). Si esto fuera un cubo, digamos c x c x c, entonces cualquier factor primo de c debe ser un factor primo de 34 + 9, 34 + 9w o 34 + 9w ^ 2. Usando este hecho, es posible demostrar que c no puede ser un número entero.

El truco funciona no solo para cubos, sino también para norteLas potencias con n mayores que dos, siempre y cuando sea cierto que factorizar un número siempre da la misma colección de números primos. Quizás Fermat pensó que esto era obviamente cierto. Si fuera cierto, daría una prueba del último teorema de Fermat que de hecho sería maravilloso, y ciertamente no encajaría en el margen de un libro.

Desafortunadamente para Fermat, le decepcionó el hecho de que factorizar números extendidos especiales no siempre da conjuntos únicos de números primos. En particular, no funciona cuando n es 23. Fermat murió en 1665. No fue sino hasta 1850 que alguien logró descubrir exactamente cuándo funciona esta maravillosa prueba, y hacer que funcione aún más norte. Este trabajo finalmente condujo a algunas matemáticas muy poderosas.

¡A veces vale la pena pensar en la loca idea de que 7 podría no ser primo!

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