12 días de navidad
El otro día tomamos prestado accidentalmente un libro de la biblioteca para mi hijo menor: «12 Bugs of Christmas», un pequeño libro encantador.
Digo «accidentalmente» prestado. Mi esposa reservó un libro bajo el nombre de mi hijo. Cuando llegó, fui a la biblioteca, mostré la tarjeta de mi hijo al bibliotecario y traje a casa el libro que me dio. Resultó que este libro no era el que mi esposa había reservado.
Sospechamos que hay otro usuario de la biblioteca que comparte el nombre de mi hijo, cuya madre está tratando de explicarle por qué su «libro de errores» nunca llegó.
De todos modos, este libro emergente (tuvimos que confiscarlo después de que mi hijo lo abrió demasiado y rompió una de las ventanas emergentes, gracias a Dios por el superpegamento) es una reescritura del popular villancico navideño «Los doce días de Navidad». que siempre me recuerda a un buen rompecabezas …
Puedes obtener la letra completa del villancico aquí. En la canción, se da una abrumadora cantidad de regalos. La pregunta es, ¿cuántos?
- Después del primer día, hay 1 regalo.
- Después del segundo día, hay 4 regalos: dos tórtolas y dos perales.
- Después del tercer día, hay 10 regalos (no 9, estos no son números cuadrados): tres gallinas francesas, cuatro tórtolas y tres peras.
- Después del cuarto día, hay 20 regalos. ¡Te dejaré contarlos!
Por lo tanto, este rompecabezas inspira un montón de buenas preguntas: primero, algunas preguntas que solo prueban las habilidades aritméticas básicas:
- ¿Cuántos regalos hay, en total, después de los 12 días completos de Navidad?
- ¿Qué tipo de regalo obtienen al máximo? ¿Anillos de oro? ¿Las criadas ordeñan? ¿Algo más?
- ¿Cuánto costaría alimentar a todos los animales y personas? ¿Tendría suficiente si vendiera los anillos de oro?
Para una clase más avanzada, puedes pedir algunos rompecabezas más desafiantes:
- ¿Qué pasa si la entrega de regalos continuó durante 25 días en lugar de 12? ¿O qué pasa si dura un año completo de 365 días? ¿Cuántos regalos se darían?
Finalmente, aquí hay una especie de plan de lección que podría usar para producir un momento «Eureka» en los niños de la clase. El momento «Eureka» llega cuando se dan cuenta de que dos acertijos muy diferentes están dando exactamente la misma respuesta. Al menos algunos de ellos se preguntarán por qué es así, y (si lo encuentran o no) se preguntarán por qué es así.
El primer rompecabezas involucra preguntas como las anteriores. ¿Cuántos regalos hay después de tantos días? Al final, asegúrese de que los niños hayan elaborado una tabla: la primera columna debe enumerar cuántos días, por ejemplo, 1 día, 2 días, tres días, y así sucesivamente, hasta (digamos) 12 días. Luego, unos días después, les pides que trabajen en el próximo rompecabezas: el Enigma de conteo de bala de cañón.
Imagen de balas de cañón redondas, apiladas en pilas, cada capa de balas de cañón dispuestas como un triángulo, ligeramente más pequeño que el triángulo en el que descansa. Hay una imagen a la derecha que muestra varias de estas pilas.
El enigma es, ¿cuántas balas de cañón hay en cada pila? Como puede ver, la pila más pequeña tiene solo una bala de cañón. Si hay dos balas de cañón a lo largo de un borde, hay cuatro en toda la pila. La pila con tres a lo largo de un borde tiene un total de 10 balas de cañón.
Entonces, les pides a tus alumnos que escriban una tabla: una columna tendrá el número de balas de cañón a lo largo de un lado de la pila. La segunda columna mostrará cuántas balas de cañón hay en la pila.
He aquí, esta tabla termina siendo exactamente igual a la tabla «Contar los regalos de Navidad»: la columna izquierda muestra 1, 2, 3, 4, 5, etc., y la columna derecha muestra 1, 4, 10, 20 , 35, etc.
Estos números se llaman «números tetraédricos«, Porque dan el número de bolas en una pila de bala de cañón en forma de tetraedro. También aparecen en el triángulo de Pascal. Échale un vistazo. Hay un montón de 1 por el costado. La siguiente fila diagonal de números, uno desde el costado, va 1, 2, 3, 4, etc., solo los números enteros antiguos. Entonces comienzan las cosas interesantes.
La tercera fila diagonal va 1, 3, 6, 10, 15, etc. Estos son los números triangulares, que cuentan cuántos círculos necesitas para formar un patrón trianglular. Luego, la cuarta fila diagonal va, lo has adivinado, 1, 4, 10, 20, 35, etc., los viejos números tetraédricos.
Si les muestra a los estudiantes, o mejor aún, déjelos descubrir por sí mismos cómo esta secuencia de números surge en tres escenarios aparentemente diferentes, es seguro que al menos despertará el interés de algunos. Esperemos que se pregunten qué otros patrones ocultos se esconden detrás de las matemáticas aparentemente simples.
