Tipos de ecuación diferencial

 

Entonces, hoy consideraremos los métodos de solución de los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que ocurren muy comúnmente en física. Por EDO nos referimos a ecuaciones que involucran derivadas con respecto a una sola variable, generalmente tiempo. Aunque formularemos la discusión en términos de EDO lineales para los cuales conocemos la solución analítica, esto es simplemente para permitirnos hacer comparaciones entre las soluciones numéricas y analíticas y no implica ninguna restricción sobre el tipo de problemas a los que los métodos pueden se aplicado. En el trabajo práctico encontrará ejemplos que no encajan perfectamente en estas categorías. Consideramos 3 ecuaciones diferenciales básicas:¡Hola mundo! Esta semana vamos a hablar sobre ecuaciones diferenciales, algo imprescindible si queremos comprender algo sobre el mundo de la física … por lo tanto, la publicación de hoy será 100% didáctica. ¡Comencemos!

(1.1)

(1.2)

(1.3)

que son representativos de la mayoría de los casos más complejos. Las ecuaciones diferenciales de orden superior se pueden reducir a primer orden mediante la elección adecuada de variables adicionales. La opción más simple es definir nuevas variables para representar todas menos la derivada de orden superior. Por ejemplo, la ecuación del oscilador armónico amortiguado, generalmente escrita como:

(1.4)

puede reescribirse en términos de y y velocidad v = dy / dt en forma de un par de EDO de primer orden:

(1.5)

(1.6)

De manera similar cualquier La ecuación diferencial de orden n. n Ecuaciones de primer orden. Tales sistemas de EDO se pueden escribir en una notación muy concisa definiendo un vector, y decir, cuyos elementos son las incógnitas, como y y v en (1.1). Cualquier ODE en n las incógnitas se pueden escribir en la forma general:

(1.7)

donde y y f son n vectores componentes. Recuerde que no hay importancia en el uso de la letra t en las ecuaciones anteriores. La variable no es necesariamente tiempo, pero podría ser fácilmente espacio, como en (1.9) o alguna otra cantidad física. Formalmente podemos escribir la solución de (1.7) como:

(1.8)

integrando ambos lados durante el intervalo . Aunque (1.8) es formalmente correcto, en la práctica generalmente es imposible evaluar la integral en el lado derecho ya que presupone la solución y (t) . Tendremos que emplear una aproximación. Todas las ecuaciones diferenciales requieren condiciones de contorno. Aquí consideraremos casos en los que todas las condiciones de contorno se definen en un valor particular de t (por ejemplo, t = 0) . Para ecuaciones de orden superior, las condiciones de contorno pueden definirse en diferentes valores de t . Los modos de una cuerda de violín a frecuencia w obedezca la ecuación:

(1.9)

con condiciones de contorno tales que y = 0 en ambos extremos de la cadena. Consideraremos tales problemas en otra publicación, donde hablaremos sobre MATRIX ALGEBRA.

Tan sorprendente, no es ¿eso? Espero que disfrutes del mundo de la ecuación diferencial. ¡Disfruta y pásatelo bien!